Liebe in Zahlen
07. Februar 2012, 10:26
Uhr
Vieles können wir in Zahlen berechnen, sogar Partnerschaften
optimieren - aber am Ende doch nur theoretisch, weil die reale Welt
leider nicht in einen Computer passt.
Seit
Jahrhunderten entdecken wir immer neue Gesetzmäßigkeiten in Physik,
Chemie und Biologie, halten Entdeckungen in Lehrsätzen fest - und
in Formeln. In seinem Bestreben, die Welt zu verstehen und sich
sozusagen untertan zu machen, bedient sich der Mensch gerne
mathematischer Formeln und Methoden auch außerhalb der Mathematik. Trotz
Computertechnik stossen die Wissenschaften immer wieder an ihre
Grenzen: die Physik in der Quantenmechanik und bei der Frage nach dem
Welle-Teilchen-Charakter von Licht, in der Biologie bei der
Entschlüsselung von Genen und bei der Ursachenforschung von
Krankheiten und anderen Phänomenen.
Trotz
dieser Beschränkungen sind die Naturwissenschaften immer noch der
Maßstab für andere Wissenschaften und zumindest viele
Sozialwissenschaften streben nach
Formalisierung und Formelisierung: je mathematischer und
methodisch-naturwissenschaftlicher die Forschung daherkommt, desto
besser. Viel wird über Vorzüge und Defizite dieser Tendenz
gestritten, in den Medien, unter Wissenschaftlern und auch in diesem
Salon. Dabei scheint uns der Wunsch nach Berechenbarkeit auch in vielen anderen Dimensionen zu verfolgen - es ist nur zufällig so, daß Physiker ihn uneingeschränkt
und kritiklos ausleben können. Andere Wissenschaftler tun es immerhin
begrenzt, und in wieder anderen Fällen ist das Scheitern bereits vorprogrammiert. Gerade diese Fälle jedoch sind von herausragendem Unterhaltungswert - besonders dann, wenn es um Beziehungsanbahnung und Beziehungsführung geht.
Jener
Kalauer, der zeigt, daß Frauen die Wurzel allen Übels sind, ist
ziemlich alt, und war wohl von Anfang an eher scherzhaft gemeint. Die
22-jährige junge Dame hingegen, die online einen Dr. Sommer für
Erwachsene befragte, woher sie wisse, ob ein Mann der richtige sei -
die hat sicherlich eine ernsthafte Antwort erwartet. Und auch
erhalten. Der geschätzte Ex-Kollege nämlich hat sich auch Gedanken
über Statistik gemacht. Formal gesehen, muß man bei jedem möglichen
Partner abwägen, ob das der Beste ist, was man wird bekommen können,
oder ob man (meist unwiderruflich) ablehnt und weitersucht. Das
Risiko, mit dem Falschen zusammenzubleiben, steht dem Risiko gegenüber, keinen
besseren Match zu finden.
Eine
mathematische Lösungsmöglichkeit ist es, die Wahrscheinlichkeit zu
maximieren, den wirklich besten Kandidaten zu wählen. Falls die
Anzahl der Kandidaten im Vorfeld feststeht, gibt es dafür eine
relativ simple Strategie. Mithilfe der Eulerschen Zahl e (Basis des
natürlichen Logarithmus) läßt sich diese sogar genau bestimmen.
Von den n möglichen Kandidaten im Laufe eines Lebens sollten die
ersten r abgelehnt werden, wobei r = n/e (näherungsweise). Hat man
dies getan, wählt man von den anschließenden Kandidaten aus der
Menge (n-r) denjenigen, der besser ist als der Beste aus der
vorangegangenen (abgelehnten) Menge r. Damit wird - mathematisch
nachweislich - die Wahrscheinlichkeit für eine optimale Wahl
maximiert - sie liegt nämlich bei sagenhaften 37 %.
Die
Strategie läßt drei Möglichkeiten zu: zu den nicht so glücklichen
63 % Ausgangswahrscheinlichkeit gehört der Fall, in dem der beste der Kandidaten - nennen wir ihn
T wie Trophäe - zu den pauschal abgelehnten Bewerbern aus der
Menge r gehört. Die Strategie scheitert auch in dem Fall, in dem der
zweitbeste Kandidat sich nicht in der Menge r befindet (ihn
brauchen wir als Referenzpunkt innerhalb der pauschal abgelehnten Menge r, um später
wirklich den besten Kandidaten auszuwählen). Die
Erfolgswahrscheinlichkeit hängt also von der Platzierung des besten
und zweitbesten Kandidaten in der Reihe 1...n ab, die Platzierung
wiederum ist zufällig, gleich groß für jeden Platz, und damit
kann man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion formulieren und diese
optimieren - und kommt auf knapp 37 % Erfolgswahrscheinlichkeit für
die oben skizzierte Strategie.
Für
risikoaverse Menschen ist die Strategie jedoch nichts, da die
Wahrscheinlichkeit, es richtig zu vermasseln, deutlich größer ist
als der Erfolg, zumal in der Regel die Anzahl n ex ante nicht
feststeht. Deshalb ist der Sachverhalt auch als Sekretärinnenproblem
bekannt - wobei ich bezweifle, daß Firmen oder Personalchefs sich
ernsthaft daran orientieren (oder die eingangs genannte junge Dame in
Männerentscheidungsnöten).
Die
Weisheit der Zahlen beschränkt sich keineswegs nur auf die
Beziehungsanbahnungsphase. Auch für später hat die Mathematik
inzwischen eine Lösung für das „stable marriage problem"
gefunden. Dabei geht es darum, eine Reihe von Partnern aus zwei
Gruppen so einander zuzuordnen, daß kein Paar mehr existiert, das
gegenseitig lieber miteinander als mit den bestehenden Partnern
verbandelt wäre. In dem Falle wären sämtliche Ehen stabil -
zumindest im Sinne von Scheidung -, weil sich kein alternatives Paar
dauerhaft zusammenfinden würde.Über mögliche Seitensprünge kann man nur mutmaßen.
Den
Lösungsalgorithmus für dieses Problem kann man sich so ähnlich wie
Speed-Dating vorstellen, wobei nicht jeder seine erste Wahl erfüllt
bekommen kann - manche Damen sind vielleicht die erste Präferenz
mehrerer Herren - oder umgekehrt. Die Herren machen den Damen ihrer
jeweils ersten Wahl einen Antrag, den diese vorläufig annehmen oder
ablehnen können. In einer zweiten Runde dürfen die Herren, deren
Anträge negativ beschieden wurden, erneut Angebote abgeben -
nunmehr für ihre „second-best option", da die ganz große Liebe
bereits abgelehnt hat. Die Damen wiederum können erneut unter ihren
Bewerbern denjenigen vorläufig sichern, der ihnen am besten gefällt
- auch wenn das bedeutet, daß der vorläufig positiv beschiedene
Bewerber der Vorrunde den Platz räumen muß. Nach beliebig vielen
Runden - höchstens allerdings sovielen wie es Paare gibt, sind
alle Individuen verpartnert und es existiert kein Paar, das sich
beidseitig noch verbessern könnte.
Hört sich
komplex an, funktioniert aber tatsächlich. Auch wenn in jeder Runde
vorläufige Partnerschaften wieder aufgebrochen werden, ist die Anzahl der Runden endlich, denn die Männer können maximal
soviele Anträge machen, wie es Damen gibt. Am Ende impliziert das
auch, daß alle Frauen vom Markt sind - der letzte ledige Herr
kommt irgendwann am Ende seiner Präferenzenliste an und wird damit
den Markt gewissermaßen räumen. Außerdem ist das entstandene
Ergebnis ganz sicher stabil, denn die Herren arbeiten mit ihren
Anträgen ihr eigenes Präferenzenranking ab. Möglicherweise sind
viele nicht mit ihrem Wunschpartner (erster Wahl) zusammen, aber zu
dem Zeitpunkt, zu dem sie sich verpflichten, sind sie von ihren höher
gerankten Wunschpartner bereits abgelehnt worden - keine Chance
also, durch Scheidung ein Pärchen noch glücklicher zu machen.
Hinsichtlich
der Glücksmaximierung hingegen werden die Herren bevorzugt. Da sie
die Initiative ergreifen und aus allen Frauen wählen können -
Frauen hingegen nur aus der Menge ihrer Kandidaten - wird ein für
die Männer optimaler Zustand erreicht, für die Damen hingegen
nicht.
Tatsächlich
wird der skizzierte Algorithmus von Gale und Shapley für alle
möglichen Matching-Aufgaben verwendet - aber sicher nicht für
Heiraten. In den USA zum Beispiel wurden viele Jahre Krankenhäuser
und Medizinstudenten einander zugeordnet. Ähnliches gilt auch für
Zimmerpartner in Universitäten, oder überhaupt
Universitätszulassungen von Studenten. Seinen Namen als „stable
marriage algorithm" verdankt er vermutlich weniger der realen
Anwendung als der Tatsache, daß auch in dieser mathematischen
Anwendung Herren die Initiative ergreifen - aber die Damen die
letztendliche Entscheidung treffen. Lediglich die Stabilität stellt
sich der wahren Welt nicht ein, nicht einmal mit modernen
Supercomputern.
